[파이썬+통계학] 현대통계학 연습문제 파이썬 구현(ch.6)-1

★ 시작에 앞서 ★

 

해당 내용은 '<현대통계학-제6판>, 다산출판사, 2024' 에 나와있는 챕터별 연습문제를 교재를 응용하여 풀이하고, 수학적인 문제에 대한 답변을 파이썬으로 구현해보기 위해 작성하는 글이다.

해당 답변을 구현하는 방식은 답안지 없이 필자가 스스로 구현하는 것이므로, 정확한 (혹은 가장 효과적인) 답변이 아닐 수 있다. 이 글의 목적은 통계학 공부와 파이썬 프로그래밍 언어 공부를 동시에 하고자 함이며, 통계학을 공부하고 싶으신 분들은 해당 교재를 구매하는 것을 추천한다.

또한, 연습문제 번호 및 문제 내용은 필자가 임의대로 작성하였으며, 교재와는 다를 수 있다.

 

잘못된 부분이 있다면 언제든 피드백 부탁 드립니다! 감사합니다

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[파이썬+통계학] 현대통계학 연습문제 파이썬 구현(ch.5)

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챕터6 주요 내용

 

- 베르누이시행: 베르누이 시행은 확률론과 통계학에서 임의의 결과가 '성공' 또는 '실패'의 두 가지 중 하나인 실험을 뜻한다. 다시 말해 '예' 또는 '아니오' 중 하나의 결과를 낳는 실험을 말한다. 예를 들면, 하나의 시행은 다음과 같은 질문에 답할 수 있는 실험이다. 또한, 베르누이시행은 아래의 세 조건을 만족시키는 시행이다.

 

[베르누이시행의 조건]

• 각 시행의 결과는 상호배타적인 두 사건으로 구분된다. 즉, 한 사건은 '성공', 다른 사건은 '실패'로 나타낸다.
• 각 시행에서 성공의 결과가 나타날 확률은 p=P(S) 로 나타내며, 실패가 나타날 확률은 q = P(F) = 1 -p 로 나타낸다. 그러므로 각 시행에서 성공이 나타날 확률과 실패가 나타날 확률의 합은 p+q =1 이 된다.
• 각 시행은 서로 독립적이다. 한 시행의 결과는 다음 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는다.

베르누이시행의 예

 

- 이항실험:  여러 번의 베르누이시행을 할 때 특정 횟수의 성공이 나타날 확률을 측정하는 실험.

예. 동전을 열 번 던지는 경우, 두 번의 앞면(성공)이 나올 확률 등.

이때 성공의 횟수 또는 실패의 횟수를 이항확률변수(binomial random variable)라고 하며 보통 X로 표시한다.

 

- 이항분포(또는 이항확률분포): 이항확률변수가 가지는 특정한 분포. 시행횟수 n 또는 성공확률 p에 따라서 확률분포의 모양이 달라진다. 또한, 이항분포는 선험적인 분포라 수십 차례에 걸친 베르누이시행을 실제로 해 보지 않더라도 n과 p값만 알고 있으면 그 분포의 모양과 확률변수의 확률을 알 수 있다.

이항분포가 성립되기 위한 중요한 가정 중 하나는 매 시행마다 어떤 사건이 일어날 가능성 (성공의 확률)은 언제나 일정하다는 것이다.

 

[확률변수의 값에 대응되는 확률의 계산 방법]

• 확률함수 이용
• 이항분포표 이용

이항확률함수

 

이항분포표 / 출처: 나부랭이의 수학블로그 - 티스토리

 

[이항분포의 모양]

• p=0.5일 때에는, 이항실험횟수 n이 작더라도 확률분포는 언제나 대칭을 이룬다
• p=0.5가 아니더라도, 이항실험횟수 n이 커지면 확률분포는 대칭에 가까워진다

[이항분포의 기댓값과 분산]

 

- 다항분포: 확률실험의 결과로 k개의 가능한 경우가 발생할 때 나타나는 분포. (k=2 이면 이항분포와 같게 된다)

 

[다항확률함수]

 

(※ 숫자! : 팩토리얼 또는 계승이라고 부른다. 이 글의 하단에 관련된 내용이 있으니, 모르시는 분은 참고하시면 됩니다.)

 

- 초기하분포: 매 시행마다 발생할 결과가 성공과 실패의 두 가지가 있으나, 표본이 비복원으로 추출되기 때문에 베르누이시행의 조건 중, 매 시행마다 성공확률이 일정하다는 조건이 만족되지 않을 때 적용될 수 있는 확률모형.

카드 52장에서 특정한 카드를 뽑을 확률은 계속해서 줄어드는 것처럼 (1/52 > 1/51 > 1/50...) 앞선 시행결과에 따라 다음 시행 결과가 달라지는 것.

매 시행이 독립적 - 이항분포
매 시행이 종속적 - 초기하분포

 

[초기하분포의 확률함수]

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챕터6 연습문제1

 

Q. 입학시험에 응시한 학생들의 합격 가능성이 40%로 일정하다고 하자. 임의로 5명의 학생을 골랐을 때, 이들 중 적어도 한 명이 합격할 확률은? (복원추출 가정)

import numpy as np
from math import comb  # 이항 계수 계산을 위한 함수

# 성공 확률, 시행 횟수, 성공 횟수 정의
p = 0.4  # 성공 확률
n = 5    # 시행 횟수 (학생 수)
x = 1    # 성공 횟수 (합격 수)

# 실패 확률
q = 1 - p

# 이항 확률 계산
p_1 = comb(n, x) * (p ** x) * (q ** (n - x))

# 결과 출력
print('성공 확률 (합격 확률):', p_1)

 

★ 이항계수: 주어진 집합에서 원하는 개수만큼 순서없이 뽑는 조합의 개수를 의미한다. 여기서 이항 이란 한 개의 아이템에 대해서 뽑거나 뽑지않거나 두가지의 선택이 있기 때문에 붙은 단어이다. 이항계수의 정의는 다음과 같이 표현된다.

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★ 팩토리얼: 수학에서, 자연수의 계승 또는 팩토리얼(차례곱, factorial)은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. n이 하나의 자연수일 때, 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 n에 상대하여 이르는 말이다. 기호는 느낌표(!)를 쓰며 팩토리얼이라고 읽는다.

 

<팩토리얼의 예>

팩토리얼	공식	답
1!	1 * 1	1
2!	2 * 1	2
5!	1 * 2 * 3 * 4 * 5	120
0!		1

 

[팩토리얼 관련 도움되는 글]

0!은 왜 1일까?

 

# 팩토리얼 (x!)
#for문을 사용한 팩토리얼 소스 코드
a = int(input("팩토리얼을 구할 숫자를 입력하세요 : "))
result = 1
for item in range(1, a+1, 1):
    result *= item      #result = result * item
print(result)

 

[팩토리얼 파이썬 코드 관련 도움되는 글]

[Python]파이썬 팩토리얼(factorial) 구현 3가지 방법(for/재귀/math)소스 코드

 

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